Berekenen van gescheurde doorbuiging in Diamonds

Een betere kennis van materiaaleigenschappen en geavanceerde analysetools stellen bouwkundig ingenieurs in staat om lichtere ontwerpen te realiseren. Hierdoor worden comforteisen steeds belangrijker. Voor betonnen liggers en vloeren wordt maximale doorbuiging vaak het doorslaggevende criterium. Maar dan komen er nieuwe vragen, zoals “Hoe moeten doorbuigingen worden berekend?” en “Wat zijn de grenswaarden voor maximale doorbuigingen?”.

Een paar definities vooraf

De begintoestand van een betonnen ligger of vloerplaat is de referentielijn (referentievlak) van het dragende element in onbelaste toestand. Deze initiële vorm kan worden bereikt door een tegenvervorming ten opzichte van de niet-vervormde toestand van het element.
De doorbuiging is de verplaatsing van de referentielijn (referentievlak) onder invloed van de uitgeoefende krachten ten opzichte van de oorspronkelijke vorm.
De onmiddellijke doorbuiging als gevolg van uitgeoefende belastingen is het deel van de doorbuiging dat vrijwel onmiddellijk optreedt na het uitoefenen van de belastingen.
De tijdsafhankelijke doorbuiging als gevolg van uitgeoefende belastingen is het deel van de doorbuiging dat optreedt als gevolg van kruip van het beton na het uitoefenen van belastingen waarvan wordt aangenomen dat ze constant zijn in de tijd.
The additional deflection from the point in time is the part of the deflection that occurs after . It consists of several components:
- de tijdsafhankelijke doorbuiging onder de krachten die op dat moment al zijn uitgeoefend
- de ogenblikkelijke en tijdsafhankelijke doorbuiging onder de belastingen die na het tijdstip worden uitgeoefend $t_i$ .

Berekening van de gescheurde doorbuiging

De elastische doorbuiging van liggers of vloerplaten van gewapend beton komt alleen overeen met de werkelijke doorbuiging als het scheurmoment van de ligger of vloerplaat niet wordt overschreden. Vanwege de lage treksterkte van beton komt deze situatie in de praktijk meestal niet voor. Zodra de spanningen de treksterkte van het beton overschrijden, ontstaan er scheuren en neemt de stijfheid van de doorsnede aanzienlijk af, wat resulteert in grotere doorbuigingen.

Om de doorbuiging van liggers of vloerplaten van gewapend beton te berekenen, moeten we rekening houden met betonscheuren. De mate waarin het beton gescheurd is, hangt niet alleen af van de treksterkte, maar ook van de werkelijke hoeveelheid wapening.

De hierna besproken berekeningsmethode (beschikbaar in de Diamonds rekensoftware) is een logische uitbreiding van de ontwerpregels voor structurele elementen (zoals liggers) die slechts in één richting worden belast. Na de bespreking van de principes voor het geval van unidirectionele dragende elementen, zullen we onderzoeken hoe we het bereik van deze berekeningsmethode kunnen uitbreiden tot structurele elementen die belastingen in twee richtingen dragen.

Voor elementen die onderhevig zijn aan buiging, is de volgende formule van toepassing voor de berekening van de verticale doorbuiging $\delta$ :

(1) $\frac{d^2 \delta }{dx^2}=\frac{1}{r}=\frac{M}{E \cdot I}$

Voor elementen van gewapend beton is de krommingsstraal $\frac{1}{r}$ afhankelijk van het feit of de doorsnede gescheurd is of niet. Een doorsnede is gescheurd wanneer het buigmoment groter is dan het scheurmoment $M_r$ . Het scheurmoment $M_r$ wordt bepaald door:

(2) $M_r=f_{ctm.fl} \cdot W$

waarin

$f_{ctm.fl}$ is de gemiddelde buigtreksterkte van beton.
$W$ is het weerstandsmoment van de ongescheurde fictieve doorsnede die bestaat uit de gehele betonnen doorsnede vermeerderd met $\alpha$ maal de doorsnede van de wapeningsstaven $\left( \alpha=\frac{E_s}{E_c} \right)$

Voor een doorsnede in niet-gescheurde zones van de ligger (waarvoor $M < M_r$ ) wordt de lokale kromming $\frac{1}{r_1}$ berekend uit:

(3) $\frac{1}{r_1}=\frac{M}{E \cdot I_1}$

waarin

$E$ is de elasticiteitsmodulus van beton
$I_1$ is het traagheidsmoment van de ongescheurde fictieve doorsnede

Voor een volledig gescheurde doorsnede (waarvoor $M > M_r$ ) wordt de lokale kromming $\frac{1}{r_2}$ berekend uit:

(3) $\frac{1}{r_2}=\frac{M}{E \cdot I_2}$

waarin

$E$ is de elasticiteitsmodulus van beton
$I_2$ is het traagheidsmoment van de ongescheurde fictieve doorsnede

Figuur 1: Verdeling van de gescheurde zones in een doorlopende balk.

Figuur 1 toont de verdeling van gescheurde zones in een doorlopende ligger. In de witte zones blijft het buigmoment kleiner dan het scheurmoment $M_r$ . De ligger is in die zones niet gescheurd. In de lichtblauwe zones is het buigmoment $M$ iets groter dan het scheurmoment $M_r$ . Terwijl in de donkerdere blauwe zones het scheurmoment $M_r$ veel meer wordt overschreden. De lichtblauwe zones zullen minder scheuren zijn dan de donkerblauwe zones.

We hebben dus een uitdrukking nodig die rekening houdt met de hoeveelheid scheuren. De gemiddelde lokale kromming $\frac{1}{r}$ voor een doorsnede in een gescheurde zone (waarvoor $M>M_r$ ) wordt berekend als het gewogen gemiddelde tussen de ongescheurde en gescheurde kromming (EN 1992-1-1 §7.4.3):

(5) $\frac{1}{r}= (1-x) \frac{1}{r_1} + x \frac{1}{r_2}$

waarin

$x$ de verdelingscoëfficiënt is bepaald door
(6) $1-0.5\left( \frac{M_r}{M_{ULS RC}} \right)^2$

In plaats van de doorbuiging te berekenen door een dubbele integratie van de lokale krommingen $\frac{1}{r}$ , kunnen we de ligger verdelen in verschillende elementen met variabele stijfheid $EI$ , vervang $I$ door $I_1$ voor de niet-gescheurde zones en leidt $I$ af voor gescheurde zones uit vergelijking (5) waarin krommingen $\frac{1}{r}$ worden vervangen door $\frac{M}{E \cdot I}$ .

Deze laatste methode kunnen we gemakkelijk uitbreiden naar structurele elementen die in twee richtingen worden belast. Voor elke knoop van een eindig elementen net kan het moment $M$ en het scheurmoment $M_r$ voor beide wapeningsrichtingen worden bepaald. De formules (5) en (6) bieden dan een manier om de stijfheid $EI$ voor beide richtingen te schatten.

VOORBEELD: gescheurde doorbuiging in een balk

Gegevens

C25/30, S500, $A_{boven}=226mm^2$ , $A_{onder}=942mm^2$ , $d_1=d_2= 40mm$ , $\phi =2$
permanente lasten = 25kN/m + nuttige last = 10kNm wat resulteert in $M_{UGT ZC} = 74kNm$

Berekening

Bepaal het scheurmoment $M_r$ :

$M_r=f_{ctm.fl} \cdot W = 19.51kNm$

Bepaal de verdelingscoëfficiënt $x$ :

$x=1-0.5\left( \frac{M_r}{M_{ULS RC}} \right)^2 =0.965$

De vervorming van een ongescheurde doorsneden is gelijk aan $\delta_1$ :

$\delta_1 = \frac{5\cdot q\cdot L^4}{384\cdot E_c_0\cdot I_1}=2.50mm$

waarin:

$E_c_0 = 31476MPa$
$I_1 = 156439cm^4$

De vervormign van een volledig gescheurde doorsnede is gelijk aan $\delta_2$ :

$\delta_2 = \frac{5\cdot q\cdot L^4}{384\cdot E_{c.\phi} \cdot I_2}=11.25mm$

waarin:

$E_{c.\phi} = 10492MPa$
$I_2=104475cm^4$

De maximale gescheurde doorbuiging $\delta$ in de balk is dan gelijk aan:

$\begin{align*}<br/>\delta&= \left ( 1-x \right )\cdot \delta_1+x\cdot \delta_2\\<br/>&=\left ( 1-0.965\right )\cdot 2.50mm+0.965\cdot 11.25mm\\<br/>&=10.95mm<br/>\end{align*}$

Figuur 2: De gescheurde doorbuiging met kruip in BGT ZC berekend door Diamonds

Op zoek naar een meer gedetailleerd uitwerking? Bekijk dan het validatie voorbeeld.

Bijkomende doorbuiging berekenen

De bepaling van de extra doorbuiging vereist het tijdstip waarop de belastingen werken. Dan kan de doorbuiging als functie van de tijd worden berekend met behulp van superpositie:

Voor elke lastengroep:
- Bereken de uitgestelde doorbuiging als gevolg van kruip met behulp van vergelijkingen (1) tot en met (5)
Neem bij elke stap in de tijd de som van:
- een deel van de vertraagde doorbuiging als gevolg van kruip

Maar die methode brengt een paar moeilijkheden met zich mee:

Scheurvorming is niet-elastisch materiaalgedrag. Het staat geen superpositie toe.
Het traagheidsmoment van de gescheurde doorsneden moet onmiddellijk worden berekend.
De kruipfactor voor een bepaalde belasting is afhankelijk van de ouderdom van het beton op het moment dat de belasting wordt aangebracht: hoe ouder het beton, hoe lager de kruipfactor voor die belasting.

De volgende aanpak kan worden voorgesteld (zoals geïmplementeerd in Diamonds):

Het superpositieprincipe wordt toegepast door te specificeren welke belastingscombinatie als doorslaggevend moet worden beschouwd voor het scheuren in beton.
Dit kan voor elke belastingsgroep afzonderlijk worden gedaan (de hoeveelheid scheurvorming wordt geacht constant te zijn in de tijd voor elke belastingsgroep). Meestal wordt een zeldzame belastingscombinatie aanbevolen.
De kruipfactor is constant voor elke betonkwaliteit en voor alle belastingsgevallen.

Berekening van bijkomende doorbuiging: praktijkvoorbeeld in Diamonds

De eerder besproken aanpak wordt geïllustreerd aan de hand van een praktijkvoorbeeld met behulp van Diamonds.

Figuur 4 toont de geometrie van een vloerplaat waarvoor op 3 verschillende manieren de doorbuiging wordt bepaald.

Figuur 3: Residentie Fonteynbrug (Mechelen BE, Stabiliteitsbureau Concreet) waarvoor de Buildsoft programma’s gebruikt werken om de gescheurde doorbuiging in de tijd te bepalen.

Figuur 4: Geometrie model van één van de vloerplaten uit de Fonteynbrug Residentie met daarop de lasten t.g.v de scheidingswanden

Figuur 5: Elastische vervorming van de vloerplaat [mm]

Manier 1: De elastische doorbuiging (Figuur 5) is alleen geldig voor een ongescheurde plaat. Deze doorbuiging is afhankelijk van de elasticiteitsmodulus en de Poisson-coëfficiënt van het beton en het traagheidsmoment van de ongescheurde doorsnede. Deze doorbuiging is onafhankelijk van de berekende wapeningshoeveelheden. Deze doorbuiging is alleen realistisch voor kleine belastingen. In alle andere gevallen onderschat de elastische doorbuiging de werkelijke doorbuiging.

Figuur 6: Totale gescheurde vervorming op tijdstip oneindig [mm]

Manier 2: De totale gescheurde doorbuiging op het tijdstip oneindig (Figuur 6) maakt een conservatieve inschatting van de doorbuiging.
Deze doorbuiging houdt rekening met de wapeningshoeveelheden, de gescheurde doorsnede en de kruip van het beton. Alle belastingen worden fictief op hetzelfde moment toegepast. Deze doorbuiging is conservatief omdat het ervan uitgaat dat alle belastingen (ook het niet-quasi permanente deel van de nuttige belasting) kruip veroorzaken.

Figuur 7: Bijkomende vervorming t.g.v. het plaatsen van de scheidingswanden [mm]

Manier 3: De gescheurde doorbuiging in de tijd houdt rekening met de wapeningshoeveelheden, de gescheurde doorsnede, de kruip van het beton en het tijdstip waarop de belastingen worden uitgeoefend.
In dit voorbeeld werd aangenomen dat het eigen gewicht aangrijpt na 28 dagen, de permanente lasten na 60, de scheidingswanden na 90 en de nuttige belasting na 120.

Tijd [dagen]	Vervorming [mm]
t=-28	0,0
t=+28	-2,5
t=-60	-4,4
t=+60	-5,2
t= -90	-6,2
t= +90	-6,2
t=-120	-6,6
t= -120 RC	-7,3
t= ∞ ZC	-10,5 (Figuur 6)

Volgende tabel bevat de toename van de gescheurde doorbuiging i.f.v. de tijd berekend met Diamonds. De term “t=-90” dagen, slaagt op “vlak voor het aangrijpen van de scheidingswanden”. En “t=+90” onmiddellijk na het aangrijpen van de scheidingswanden.

De doorbuigingsberekening i.f.v. de tijd heeft de verdienste dat het mogelijk is om bijkomende doorbuiging te berekenen na het toepassen van specifieke belastingen. Zo geeft Figuur 7 weer wat de bijkomende doorbuiging t.g.v het plaatsen van de scheidingswanden.

Voldoen aan de normen

Nu de maximale doorbuiging bepaald is, tot welke waarde moet deze dan worden beperkt? Er wordt een onderscheid gemaakt tussen de totale doorbuiging en de bijkomende doorbuiging.

De totale doorbuiging is over het algemeen beperkt tot de overspanning gedeeld door 250 (of 1/125 voor een uitkraging) in een BGT QP (eigengewicht, permanente belastingen en ongeveer 30% van de nuttige belasting). Door het toepassen van een tegenpijl kan de doorbuiging geheel of gedeeltelijk worden gecompenseerd.
De bijkomende doorbuiging in het geval dat schade aan scheidingswanden moet worden vermeden, is over het algemeen beperkt tot de overspanning gedeeld door 500 (of 1/250 voor een uitkraging). De doorbuiging die optreedt na het plaatsen van de scheidingswanden moet worden geïnterpreteerd als de toename van de doorbuiging na de installatie ervan. Omdat deze beperking betrekking heeft op schadegerelateerde in plaats van comfortgerelateerde eisen, moet deze worden opgelegd aan de (toename van) doorbuiging voor zeldzame belastingscombinaties in de bruikbaarheidsgrenstoestand. Het opleggen van deze beperking voor quasi-permanente belastingscombinaties BGT QP is niet voldoende.

Conclusie

Het niet-lineaire materiaalgedrag van beton dwingt ons om de vervorming te berekenen, rekening houdend met scheuren en kruip. Voor 2D- en 3D-modellen kan EEM-software (zoals Diamonds) een groot hulpmiddel zijn.

Wil je meer weten over de gescheurde berekeningen in Diamonds, bekijk dan dit webinar.

Quiz

Welke kennis is essentieel om de gescheurde doorbuiging in te schatten?
1. Positie van de dwarskrachtwapening.
2. Het verloop van het buigmoment.
3. De betonkwaliteit.
4. De staalkwaliteit.
Welke bewering is waar over het scheurmoment ?
1. Wanneer het buigend moment in een ligger groter is dan het scheurmoment $M_r$ , is de ligger volledig gescheurd.
2. Het scheurmoment is het buigend moment net voordat de trekzone begint te scheuren.
3. Wanneer het buigend moment in een ligger groter is dan het scheurmoment $M_r$ , blijft de kromming 1/r constant.
4. Wanneer het buigend moment in een ligger op één plek groter is dan het scheurmoment $M_r$ , is het volledige element gescheurd.
De balk in het rekenvoorbeeld werd belast met een uniforme belasting. Hierdoor wordt het maximaal moment enkel gevonden in het midden van de balk. Stel dat we de balk zodanig belasten dat het maximaal moment overal gevonden wordt. Welke stelling is dan waar?
1. De totale gescheurde doorbuiging zou gelijk zijn aan $\delta_2$ .
2. De totale gescheurde doorbuiging zou gelijk zijn aan $\delta_1 + \delta_2$ .
3. De gebruikte formules voor $\delta_1$ en $\delta_2$ zijn niet van toepassing want de belastingsverdeling is anders.
Wat is de strengste eis waaraan de gescheurde doorbuiging t=-∞ ZC (zie tabel) aan voldoet? Gebruik een overspanning van 3m.
1. L/250
2. L/300
3. L/500

Berekenen van gescheurde doorbuiging in Diamonds

Een paar definities vooraf

Berekening van de gescheurde doorbuiging

VOORBEELD: gescheurde doorbuiging in een balk

Gegevens

Berekening

Bijkomende doorbuiging berekenen

Berekening van bijkomende doorbuiging: praktijkvoorbeeld in Diamonds

Voldoen aan de normen

Conclusie

Quiz

Related Posts