Déformation fissurée en Diamonds

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Une meilleure connaissance des propriétés des matériaux et des outils d’analyse avancés permettent aux ingénieurs en bâtiment de réaliser des conceptions plus légères. De ce fait, les exigences en matière de confort prennent de plus en plus d’importance. Pour les poutres et les dalles en béton, la déformation maximale est souvent le critère déterminant. Mais cela soulève alors de nouvelles questions, telles que « Comment calculer les déformations ? » et « Quelles sont les valeurs limites pour les déformations maximales ? ».

Quelques définitions préalables
  • L’état initial d’une poutre ou d’une dalle en béton correspond à la ligne de référence (plan de référence) de l’élément porteur à l’état non chargé. Cette forme initiale peut être obtenue par une déformation inverse par rapport à l’état non déformé de l’élément.
  • La déformation est le déplacement de la ligne de référence (ou du plan de référence) par rapport à la forme initiale, sous l’effet des forces exercées.
  • La déformation immédiate résultant des charges appliquées est la partie de la déformation qui se produit pratiquement immédiatement après l’application des charges.
  • La déformation dépendante du temps résultant des charges appliquées correspond à la partie de la déformation qui résulte du fluage du béton après l’application de charges considérées comme constantes dans le temps.
  • The additional deflection from the point in time t_i is the part of the deflection that occurs after t_i. It consists of several components:
    • la déformation dépendante du temps sous l’effet des forces déjà exercées à ce moment-là ;
    • la déformation instantanée et évolutive sous l’effet des charges appliquées après t_i l’instant

Calcul de la déformation fissurée

La déformation élastique des poutres ou des dalles en béton armé ne correspond à la déformation réelle que si le moment de fissuration de la poutre ou de la dalle n’est pas dépassé. En raison de la faible résistance à la traction du béton, cette situation ne se produit généralement pas dans la pratique. Dès que les contraintes dépassent la résistance à la traction du béton, des fissures apparaissent et la rigidité de la section diminue considérablement, ce qui entraîne des fléchissements plus importants.

Pour calculer la flexion des poutres ou des dalles en béton armé, il faut tenir compte des fissures dans le béton. L’ampleur des fissures dans le béton dépend non seulement de la résistance à la traction, mais aussi de la quantité réelle d’armature.

La méthode de calcul décrite ci-après (disponible dans le logiciel de calcul Diamonds) constitue une extension logique des règles de conception applicables aux éléments structurels (tels que les poutres) soumis à des charges unidirectionnelles. Après avoir examiné les principes applicables aux éléments porteurs unidirectionnels, nous verrons comment étendre le champ d’application de cette méthode de calcul aux éléments structurels soumis à des charges dans deux directions.

Pour les éléments soumis à une flexion, la formule suivante s’applique pour le calcul de la déformation verticale \delta:

(1)   \[\frac{d^2 \delta }{dx^2}=\frac{1}{r}=\frac{M}{E \cdot I} \]

Pour les éléments en béton armé, le rayon de 1/r courbure dépend du fait que la section soit fissurée ou non. Une section est fissurée lorsque le moment de flexion est supérieur au moment de fissuration. Le moment de fissuration M_r est déterminé par :

dans lequel

  • f_{ctm.fl} est la résistance moyenne à la flexion du béton.
  • W est le moment de résistance de la section fictive non fissurée, qui correspond à l’ensemble de la section en béton, majoré de \alpha fois la section des barres d’armature \left( \alpha=\frac{E_s}{E_c} \right)

Pour une section transversale située dans les zones non fissurées de la poutre (pour lesquelles M < M_r), la courbure \frac{1}{r_1} locale est calculée à partir de :

(3)   \[\frac{1}{r_1}=\frac{M}{E \cdot I_1} \]



dans lequel

  • E est le module d’élasticité du béton
  • I_1 est le moment d’inertie de la section fictive non fissurée

Pour une section complètement déchirée (pour laquelle M > M_r ), la courbure \frac{1}{r_2} locale est calculée à partir de :

(3)   \[\frac{1}{r_2}=\frac{M}{E \cdot I_2} \]

dans lequel

  • E est le module d’élasticité du béton
  • I_2 est le moment d’inertie de la section fictive fissurée
Figure 1 : Répartition des zones fissurées dans une poutre continue.

La figure 1 montre la répartition des zones fissurées dans une poutre continue. Dans les zones blanches, le moment de flexion reste inférieur au moment de fissuration M_r . La poutre n’est pas fissurée dans ces zones. Dans les zones bleu clair, le moment de flexion M est légèrement supérieur au moment de fissuration M_r . Tandis que dans les zones bleu foncé, le moment de fissuration M_r est largement dépassé. Les zones bleu clair présenteront moins de fissures que les zones bleu foncé.

Nous avons donc besoin d’une expression qui tienne compte de l’étendue des fissures. La courbure locale moyenne \frac{1}{r} pour une section transversale située dans une zone fissurée (pour laquelle M>M_r ) est calculée comme la moyenne pondérée entre la courbure non fissurée et la courbure fissurée (EN 1992-1-1 §7.4.3) :

(5)   \[\frac{1}{r}= (1-x) \frac{1}{r_1} + x \frac{1}{r_2} \]

dans lequel

  • x est le coefficient de répartition est déterminé par

    (6)   \[1-0.5\left( \frac{M_r}{M_{ULS RC}} \right)^2 \]

Au lieu de calculer la flèche par une double intégration des courbures locales \frac{1}{r}, nous pouvons diviser la poutre en différents éléments de rigidité variable EI, en remplaçant I par I_1 pour les zones non fissurées et en dérivant I pour les zones fissurées à partir de l’équation (5), dans laquelle les courbures \frac{1}{r} sont remplacées par \frac{M}{E \cdot I}.

Cette dernière méthode peut facilement être étendue aux éléments structurels soumis à des charges bidirectionnelles. Pour chaque nœud d’un maillage d’éléments finis, il est possible de déterminer le moment M et le moment de fissuration M_r pour les deux directions d’armature. Les formules (5) et (6) permettent alors d’estimer la rigidité EI pour les deux directions.

EXEMPLE DE CALCUL : calculer la déformation fissurée
Données

C25/30, S500, A_{sup}=226mm^2, A_{inf}=942mm^2, d_1=d_2= 40mm, \phi =2
charge permanente = 25kN/m + charge d’expl. = 10kNm ce qui donne M_{ELS CR} = 74kNm

Calcul

Déterminez le moment de fissuration M_r:

    \[M_r=f_{ctm.fl} \cdot W = 19.51kNm\]


Le coefficient de répartition x est égal à:

    \[x=1-0.5\left( \frac{M_r}{M_{ULS RC}} \right)^2 =0.965\]


La déformation d’une section transversale non fissurée est égale à \delta_1:

    \[\delta_1 = \frac{5\cdot q\cdot L^4}{384\cdot E_c_0\cdot I_1}=2.50mm\]


dans lequel:

  • E_c_0 = 31476MPa
  • I_1 = 156439cm^4

La déformation d’une section transversale entièrement fissurée est égale à \delta_2:

    \[\delta_2 = \frac{5\cdot q\cdot L^4}{384\cdot E_{c.\phi} \cdot I_2}=11.25mm\]


dans lequel:

  • E_{c.\phi} = 10492MPa
  • I_2=104475cm^4

La déformation maximale fissurée \delta dans la poutre est alors égale à :

    \begin{align*}<br/>\delta&= \left ( 1-x \right )\cdot \delta_1+x\cdot \delta_2\\<br/>&=\left ( 1-0.965\right )\cdot 2.50mm+0.965\cdot 11.25mm\\<br/>&=10.95mm<br/>\end{align*}

Figure 2 : Déformation fissurée avec fluage dans le ELS CR, calculé par Diamonds

Vous cherchez un exemple plus détaillé ? Consultez notre exemple de validation.

Calculer la déformation supplémentaire

Pour déterminer la déformation supplémentaire, il faut connaître le moment auquel les charges agissent. La déformation peut alors être calculée en fonction du temps à l’aide de la superposition :

  • Pour chaque groupe de charge :
    • Calculez la déformation instantanée sous contrainte de cisaillement à l’aide des équations (1) à (6).
    • Calculez la déformation instantanée sous contrainte de cisaillement à l’aide des équations (1) à (6).
  • À chaque instant, calculez la somme de:
    • la déformation élastique immédiate sous l’effet des charges appliquées
    • la partie de la déformation différée due au fluage

Mais cette méthode pose quelques difficultés :

  • La formation de fissures est un comportement non élastique du matériau. Elle ne permet pas la superposition.
  • Il faut calculer immédiatement le moment d’inertie des sections fendues.
  • Le coefficient de fluage pour une charge donnée dépend de l’âge du béton au moment où la charge est appliquée : plus le béton est ancien, plus le coefficient de fluage pour cette charge est faible.

On peut proposer l’approche suivante (telle qu’elle est mise en œuvre dans Diamonds) :

  • Le principe de superposition s’applique en précisant quelle combinaison de charges doit être considérée comme déterminante pour la fissuration du béton.
  • Cette opération peut être effectuée séparément pour chaque groupe de charges (le taux de fissuration étant considéré comme constant dans le temps pour chaque groupe de charges). On recommande généralement une combinaison de charges peu fréquente.
  • Le coefficient de fluage est constant pour chaque type de béton et pour tous les cas de charge.

Calcul de la déformation supplémentaire : exemple pratique dans Diamonds

L’approche évoquée précédemment est illustrée à l’aide d’un exemple concret utilisant Diamonds.
La figure 4 présente la géométrie d’une dalle de plancher dont la déformation est déterminée de trois manières différentes.

Figure 3 : Résidence Fonteynbrug (Malines, Belgique, bureau d’études Concreet), pour laquelle les logiciels Buildsoft sont utilisés afin de déterminer la déformation sous contrainte au fil du temps.
Figure 4 : Modèle géométrique d’une des dalles de plancher de la résidence Fonteynbrug, avec les charges exercées par les cloisons
Figure 5 : Déformation élastique de la dalle de plancher [mm]

Méthode 1 : La déformation élastique (figure 5) n’est valable que pour une dalle non fissurée. Cette déformation dépend du module d’élasticité et du coefficient de Poisson du béton, ainsi que du moment d’inertie de la section non fissurée. Elle est indépendante des quantités d’armature calculées. Cette déformation n’est réaliste que pour de faibles charges. Dans tous les autres cas, la déformation élastique sous-estime la déformation réelle.

Figure 6 : Déformation totale due à la rupture à l’instant infini [mm]

Méthode 2 : La déformation fissurée totale à l’instant infini (figure 6) fournit une estimation prudente de la déformation.
Cette déformation tient compte des quantités d’armature, de la section fissurée et du fluage du béton. Toutes les charges sont appliquées fictivement au même moment. Cette déformation est prudente car elle part du principe que toutes les charges (y compris la partie non quasi-permanente de la charge utile) provoquent un fluage.

Figure 7 : Déformation supplémentaire due à la mise en place des cloisons [mm]

Méthode 3 : La déformation sous contrainte dans le temps tient compte des quantités d’armature, de la section déformée, du fluage du béton et du moment où les charges sont appliquées. Dans cet exemple, on a supposé que le poids propre s’applique après 28 jours, les charges permanentes après 60 jours, les cloisons après 90 jours et la charge utile après 120 jours.

Temps [jours]Déformation [mm]
t=-280,0
t=+28-2,5
t=-60-4,4
t=+60-5,2
t= -90-6,2
t= +90-6,2
t=-120-6,6
t= -120 CR-7,3
t= ∞ CR-10,5 (Figure 6)

Le tableau suivant présente l’augmentation de la déformation sous contrainte en fonction du temps, calculée à l’aide de Diamonds. L’expression « t = -90 » jours fait référence à « juste avant l’engagement des parois de séparation ». Et « t = +90 » désigne le moment immédiatement après l’engagement des parois de séparation.

Le calcul de la déformation dans le temps présente l’avantage de permettre de déterminer la déformation supplémentaire après l’application de charges spécifiques. La figure 7 illustre la déformation supplémentaire résultant de la mise en place des cloisons.

Respect des normes

Maintenant que nous avons calculé la déformation maximale, à quelle valeur faut-il la limiter ? Il convient de distinguer la déformation totale de la déformation supplémentaire.

  • La déformation totale est généralement limitée à la longueur de la portée divisée par 250 (ou L/125 pour une poutre en porte-à-faux) dans un calcul ELS QP (poids propre, charges permanentes et environ 30% des charges d’exploitation).
    En appliquant une contre-déformation, la déformation peut être compensée en totalité ou en partie.
  • La déformation supplémentaire est généralement limitée à la longueur de la portée divisée par 500 (ou L/250 pour une poutre en porte-à-faux) lorsqu’il s’agit d’éviter d’endommager les cloisons.

Conclusion

Le comportement non linéaire du béton impose de prendre en compte la fissuration et le fluage lors du calcul des déformations. Les logiciels d’analyse structurelle avancés, tels que Diamonds, s’avèrent indispensables pour estimer les déformations totales et supplémentaires des modèles en 2D et en 3D.

Si vous souhaitez en savoir plus sur la déformation fissurée en Diamonds, nous vous recommandons ce webinaire.

Quiz

  1. Quelles connaissances sont indispensables pour évaluer la déformation fissurée (sélectionnez toutes les réponses possibles)?
    1. La position des étriers.
    2. Le diagramme du moment de flexion.
    3. La qualité du béton.
    4. La qualité de l’acier
  2. Quelle affirmation est vraie concernant le moment de fissuration M_r?
    1. Lorsque le moment de flexion d’une poutre est supérieur au moment de fissuration M_r, la poutre est complètement fissurée.
    2. Le moment de fissuration M_r est le moment de flexion dans une poutre ou une dalle en béton juste avant que la zone de traction ne commence à se fissurer.
    3. Lorsque le moment de flexion dans une poutre est supérieur au moment de fissuration M_r , la courbure 1/r reste constante.
  3. Dans l’exemple de calcul, la poutre a été soumise à une charge uniforme. De ce fait, le moment maximal n’est présent qu’au milieu de la poutre. Supposons que nous soumettions la poutre à une charge telle que le moment maximal soit présent partout. Quelle affirmation est alors vraie ?
    1. La déformation totale fissurée serait égale à \delta_2
    2. La déformation totale fissurée serait égale à \delta_1 + \delta_2
    3. Les formules utilisées pour \delta_1 et \delta_2 ne sont pas applicables, car la répartition des charges est différente.
  4. Quelle est la condition la plus stricte à laquelle satisfait la déformation fissurée t = ∞ CR (voir tableau) ? Prenez une portée de 3 m.
    1. L/250
    2. L/300
    3. L/500

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